Optimale Auslegung von Piezoaktuatoren

In vielen Fällen ist das Ergebnis eines optimalen Entwurfs von piezoelektrischen Aktuatoren, die in mechanische Strukturen eingebettet werden, bekannt. So wurde in früheren Vorträgen gezeigt, wie man, basierend auf einer Lagrange'schen Beschreibung des Entwurfsproblems, die Bestimmungsgleichungen für die Verteilung von piezoelektrischen Schichten findet, sodass gewisse Störungen exakt eliminiert werden können. Oftmals kann eine derartige Verteilung, sie ist im Allgemeinen kontinuierlich, nicht realisiert werden, sondern sie muss durch eine diskrete Verteilung von Patches approximiert werden. Die Aufgabe, eine gegebene kontinuierliche Verteilung durch eine diskrete zu ersetzen, wird nun sowohl für den statischen Fall wie auch den dynamischen behandelt. Nach Einführung geeigneter Fehlermaße für den statischen Fall wird gezeigt, dass das Problem, für eine gegebene geometrische Konfiguration der Patches die optimale Verteilung der elektrischen Spannungen zu finden, äquivalent zu einer Minimum-Norm Aufgabe in einem infinit dimensionalen Hilbertraum ist. Da im dynamischen Fall Sprünge als Testfunktionen verwendet werden, muss nun auch für den zeitlichen Verlauf der Aktuatorgrößen ein Funktionenraum, hier die Menge der leistungsbeschränkten Signale gewählt werden. Beide Optimierungsaufgaben lassen sich nun auf eine finit dimensionale Aufgabe reduzieren. Damit gelingt es aber auch die optimalen geometrische Parameter der Patches, wie Lage, Größe, Form, etc., mit Hilfe von finit dimensionalen nichtlinearen Optimierungsaufgaben zu bestimmen.