Functions On Finite Groups. Compatibility vs. Polynomiality

Am Ende der sechziger Jahre wurde begonnen, das erfolgreiche Konzept der Polynomfunktionen von Körpern und Ringen auf allgemeine Algebren, insbesondere auf Gruppen zu übertragen. In dieser Arbeit werden die Polynomfunktionen auf einer weiteren Klasse von endlichen Gruppen beschrieben, auf den nilpotenten Klassen der Klasse 2, Gruppen, die ‘fast abelsch’ sind. Aus dieser Beschreibung resultiert eine schnelle Methode, die Anzahl der verschiedenen Polynomfunktionen auf einer solchen Gruppe zu berechnen, und eine Methode, schnell zu überprüfen, ob und wie eine gegebene Funktion sich als Polynomfunktion darstellen lässt. Im zweiten Teil der Arbeit werden kompatible Funktionen auf Gruppen untersucht. Eine Funktion von einer Gruppe in sich selbst heisst kompatibel, wenn die Bilder von Elementen der Gruppe, welche bezüglich irgendeiner Kongruenzrelation der Gruppe in Relation stehen, ebenfalls bezüglich dieser Kongruenzrelation in Relation stehen. Zu den bereits bekannten Resultaten über abelsche Gruppen und Gruppen mit einem einzigen minimalen Normalteiler gesellen sich hier Ergebnisse über Gruppen mit distributivem minimalen Normalteiler (eine Verallgemeinerung) und direkte Produkte. Auch hier werden Methoden präsentiert, diese Funktionen tatsächlich und schnell mit einem Computer zu berechnen. Der dritte Teil widmet sich jenen Gruppen, wo Polynomfunktionen und kompatible Funktionen das selbe sind, den 1-affin vollständigen Gruppen. Einige neue Klassen solcher Gruppen werden vorgestellt.